Présentation du système hexadécimal

Alors que le système décimal, avec ses dix chiffres, fait partie de notre quotidien, l’informatique et le traitement de données s’appuient sur le système binaire ou code binaire, qui permet de représenter des sujets complexes avec seulement deux valeurs : 0 et 1. Dans le système binaire, les grands nombres présentent généralement le désavantage d’être rapidement illisibles. C’est là qu’intervient le système hexadécimal, où des informations qui nécessitent huit chiffres dans le système binaire n’en nécessitent que deux avec le système hexadécimal.

Le mot hexadécimal est composé des termes hexa et decem. Hexa vient du grec et signifie « six » tandis que decem est le mot latin pour « dix ». Le système hexadécimal est donc un système de valeur qui représente les nombres en base 16. Cela signifie que le système hexadécimal utilise 16 chiffres différents. En d’autres termes : il existe 16 symboles numériques possibles contre deux dans le système binaire (0 ou 1), et dix dans le système décimal (0 à 9). Mais à quoi sert ce système ?

En informatique, le système hexadécimal est utilisé pour faciliter la lisibilité de grands nombres comme les longues chaînes de bits. Celles-ci sont divisées en groupes de quatre bits et converties en nombres hexadécimaux. Résultat : au lieu d’une longue suite de « 1 » et « 0 », la suite est exprimée en nombres hexadécimaux plus courts et qui peuvent, à leur tour, être divisés en petits groupes de deux ou quatre. En ce sens, les nombres hexadécimaux permettent une représentation compacte des suites de bits. Le système est utilisé notamment pour les adresses sources et cibles des protocoles Internet (IP), dans les codes ASCIII ou dans la description de codes couleurs dans le design Web avec le CSS, le langage des feuilles de style.

Comme nous l’avons évoqué plus tôt, le système hexadécimal dispose de 16 symboles numériques. Cependant, cela crée un problème potentiel : avec la notation conventionnelle des nombres, on utilise les nombres décimaux 10, 11, 12, 13, 14 et 15, chacun étant constitué de deux symboles adjacents. Ainsi, si vous exprimez le nombre 10 en notation hexadécimale, il est difficile de savoir s’il s’agit du nombre décimal 10 ou, par exemple, du nombre binaire 2 (1 + 0).

Pour éviter ce problème, les nombres hexadécimaux d’une valeur de 10 à 15 sont exprimés par les lettres majuscules A, B, C, D, E et F. Le système hexadécimal utilise donc des chiffres de 0 à 9 et les lettres majuscules de A à F pour représenter l’équivalent du nombre binaire ou décimal. Pour différencier les nombres hexadécimaux des nombres décimaux, vous disposez de plusieurs formats d’écriture (vous trouverez ci-dessous plusieurs exemples du nombre hexadécimal « 73 ») :

• 73₁₆
• 73_hex
• 73h
• 73H
• 73H
• 0x73
• $73
• #73
• "73
• X’73’

Le préfixe 0x et le suffixe h sont utilisés principalement dans la programmation, tandis que le préfixe dollar est utilisé avec certaines familles de processeurs en langage d’assemblage.

Si des valeurs complexes sont décrites, les chaînes de bits ou chaînes binaires peuvent devenir très longues. Au quotidien, dans le système de numération décimale, nous utilisons des groupes de trois chiffres pour rendre plus lisible un très grand nombre, comme un million ou un trillion. Il en va de même pour les systèmes numériques : afin de pouvoir lire une chaîne de bits comme 1111010111001111₂ plus facilement, elle sera en général divisée en groupes homogènes de quatre chiffres. Notre exemple s’écrira donc ainsi : 1111 0101 1100 1111₂. Remplacer le système binaire par le système hexadécimal permettrait de le rendre encore plus lisible.

Comme 16 est la quatrième puissance de 2 (ou 2⁴) dans le système décimal, il existe une relation directe entre les chiffres 2 et 16, de sorte qu’un chiffre hexadécimal a une valeur équivalente à 4 chiffres binaires. Sur cette base, vous pouvez représenter 4 chiffres d’un nombre binaire par un seul chiffre hexadécimal. Cela rend la conversion entre les nombres binaires et hexadécimaux relativement facile, de sorte que les grands nombres binaires peuvent être écrits avec moins de chiffres grâce au système hexadécimal.

Les nombres hexadécimaux font partie d’un système plus complexe que les systèmes binaires ou décimaux et sont souvent utilisés en combinaison avec des adresses mémoires. En divisant un nombre binaire en groupes de 4 bits, chaque ensemble de 4 chiffres peut prendre une valeur comprise entre « 0000 » (0) et « 1111 » (8+4+2+1 = 15). Il en résulte un total de 16 combinaisons de chiffres différentes de 0 à 15. Il faut tenir compte du fait que le « 0 » est également un chiffre valide.

Selon le tableau de conversion, notre série de chiffres binaires 1111 0101 1100 1111₂ ressemble à ceci dans le système hexadécimal : F5CF. Ce chiffre est plus facile à lire que la longue chaîne de bits. L’utilisation de la notation hexadécimale permet d’écrire un code numérique avec moins de chiffres et un risque d’erreur considérablement réduit. De même, la conversion des nombres hexadécimaux en binaire est simplement le processus inverse.

Pour identifier clairement notre numéro de tout à l’heure comme un nombre hexadécimal, vous pouvez écrire F5CF comme suit : F5CF₁₆, $F5CF ou #F5CF. Cette dernière notation, également appelée valeur de hachage, est utilisée dans le codage numérique des couleurs, car les concepteurs et les développeurs utilisent les couleurs HEX dans la conception de sites web. Une couleur HEX est exprimée sous la forme d’une combinaison de six chiffres et lettres définie par son mélange de rouge, de vert et de bleu (RVB). Par exemple #000000 correspond au noir et #FFFFFF au blanc.

Vous savez désormais comment convertir quatre chiffres binaires en nombre hexadécimal. Si vous avez plus de quatre chiffres binaires, il vous suffit de commencer par l’avant ou de continuer avec le prochain ensemble de 4 bits. Avec deux chiffres hexadécimaux, vous pouvez compter jusqu’à FF, qui correspond à la valeur 255 dans le système hexadécimal.

L’ajout de chiffres hexadécimaux supplémentaires pour convertir des nombres binaires en hexadécimaux est très facile si vous avez 4, 8, 12 ou 16 chiffres binaires. Cependant, vous pouvez également ajouter « 0 » ou « 00 » à gauche du bit le plus significatif, si le nombre de bits binaires n’est pas un multiple de quatre. Par exemple 110010110110011₂ est un nombre binaire de 14 bits qui est trop grand pour trois chiffres hexadécimaux, mais trop petit pour un nombre hexadécimal de quatre chiffres.

La solution consiste à ajouter des zéros supplémentaires au bit le plus à gauche jusqu’à obtenir un ensemble complet de nombres binaires à 4 bits. Dans notre exemple, la ligne ci-dessus ressemblerait maintenant à ceci : 00110010110110011₂.

Le grand avantage du système hexadécimal réside dans son format compact, car la base 16 signifie qu’il faut moins de chiffres pour représenter un nombre donné qu’en format binaire ou décimal. En outre, il est relativement simple et rapide de convertir les chiffres hexadécimaux en chiffres binaires et inversement.